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Mathématiques


Les problèmes du millénaire

Les problèmes du millénaire

Par Saucratès 

Saint-Denis de La Réunion, jeudi 10 novembre 2022

 

Je vais aujourd’hui vous parler de mathématiques. Il existe en tout sept problèmes du millénaire. Le 24 mai 2000, au cours d’une conférence tenu au collège de France à Paris, l’Institut de Mathématiques Clay annonçait une liste des sept problèmes mathématiques irrésolus les plus difficiles à résoudre, qu’il a intitulé les sept problèmes du millénaire.

 

La résolution de chacun de ces problèmes serait accompagnée d’une récompense d’un million d’euros, ainsi que de l’attribution de la médaille Fields, l’équivalent du prix Nobel en mathématiques. Cet institut estime ainsi qu’il faudra un millénaire pour résoudre ces sept problèmes mathématiques. A ce jour, un seul de ces sept problèmes a été résolu.

 

Au fond, ces problèmes du millénaire reproduise le principe de la liste des vingt-trois problèmes énoncés par le mathématicien anglais David Hilbert en août 1900. Un siècle plus tard, un siècle après la liste des 23 problèmes irrésolus de Hilbert, l’Institut Clay a donc lancé sa liste des sept problèmes mathématiques du millénaire.

 

Ces problèmes mathématiques ne sont pas récents ; certains de ces problèmes attendent une solution depuis plus de cent ans comme la conjoncture de Poincaré énoncée en 1904, voire depuis plus de cent cinquante ans comme l’hypothèse de Riemann, qui faisait déjà partie de la liste des 23 problèmes de Hilbert.

 
Ces sept problèmes constituent le Graal, le sommet Everest des Mathématiques. Le site internet de l’Institut Clay propose l’énoncé exact de chaque conjoncture à démontrer accompagné d’une description détaillée, de nombreuses informations sur l’historique du problème, son importance et l’état des travaux à son sujet (tout ceci en anglais).

https://www.claymath.org/

 

1) Premier problème du millénaire : La conjecture de Poincaré

C’est un problème de topologie algébrique qui étudie la déformation spatiale de certaines formes et objets.

https://www.claymath.org/sites/default/files/poincare.pdf


Il existe plusieurs formulations de cette conjoncture.

 

L’un de ces énoncés est le suivant : 

« Soit une variété compacte V simplement connexe, à trois dimensions, sans bord. Alors V est homéomorphe à une hypersphère de dimension trois. »

 

Une autre façon de l’énoncer est la suivante :

«  Tout espace tridimensionnel fermé sur lui-même et dépourvu de trou peut se déformer en une sphère tridimensionnelle. »

 

Selon Wikipédia, « Une hypersphère de dimension trois correspond à une sphère en dimension quatre. Il s’agit donc de l’ensemble des points équidistants d’un point central fixé dans un espace euclidien à quatre dimensions. » Autrement dit, dans un système de coordonnées cartésiennes x, y et z, il s’agit de la sphère de rayon R dont l’ensemble des points de coordonnées x, y et z qui vérifient l’équation : x² + y² + z² = R²

 

Toujours selon Wikipédia, la définition de homéomorphe ou d’homéomorphisme n’est guère plus simple à comprendre :

« En topologie, un héméomorphisme est une application bijective continue, d’un epspace topologique dans un autre, dont la bijection réciproque est continue. » Autrement dit, l’homéomorphisme « est la bonne notion pour dire que deux espaces topologiques sont les mêmes vus différemment. »

 

Il s’agit du seul problème de la liste du millénaire à avoir déjà été résolu, par le mathématicien russe Grigoriy (ou Grisha) Perelman, chercheur à l’Institut Steklov de Mathématiques de Saint-Pétersbourg, qui a publié en 2002 sur internet la démonstration de la conjecture de Poincaré, mais en a refusé tous les honneurs, le prix d’un million de dollars qui récompense la résolution de chaque problème du millénaire, ainsi que la médaille Fields qui lui a été attribuée.

https://www.claymath.org/millennium-problems-poincar%C3%A9-conjecture/perelmans-solution

 

2) Deuxième problème du millénaire : La Conjecture Yang-Mills 

« Prove that for any compact simple gauge group G, a non-trivial quantum Yang–Mills theory exists on R4 and has a mass gap ∆ > 0.»

https://www.claymath.org/sites/default/files/yangmills.pdf

 

Ce problème ramène à ce que certains appellent familièrement la «Théorie du Tout». Il s’agit d’une théorie physique susceptible de décrire de manière cohérente et unifiée l'ensemble des quatre forces d’interactions élémentaires, à savoir l’interaction gravitationnelle, l’interaction électromagnétique, l’interaction électrofaible et l’interaction forte. Une telle théorie n'a pas été découverte à l'heure actuelle, principalement en raison de l'impossibilité de trouver une description de la gravitation qui soit compatible avec le modèle standard de la physique des particules, qui est le cadre théorique utilisé pour la description des trois autres interactions connues (électromagnétisme, interaction électrofaible et interaction forte).

 

La théorie du Tout devrait permettre de résoudre l’unification de la mécanique quantique et de la théorie de la relativité générale.

 

3) Troisième problème du millénaire : L’hypothèse de Riemann

Cette hypothèse a été énoncée en 1859 par le mathématicien allemand Bernhard Riemann.

http://www.claymath.org/sites/default/files/official_problem_description.pdf

 

Comme déjà indiqué, cette hypothèse appartenait d’ailleurs déjà à la liste des 23 problèmes irrésolus de Hilbert d’août 1900. Celui-ci indiquait d’ailleurs : « Si je devais me réveiller après avoir dormi pendant mille ans, ma première question à son réveil serait : l’hypothèse de Riemann a-t-elle été prouvée ? ». 

 

Ce problème concerne la répartition des nombres premiers. Riemann a utilisé la fonction zêta, qui correspond à la somme pour les entiers des entiers allant de 1 à l’infini, de la somme des 1/n à la puissance S. Selon Riemann, les valeurs qui annulent la fonction de Riemann ont tous pour partie réelle ½, à l’exception de quelques zéros triviaux. Autrement exprimé, « Tous les zéros de la fonction zêta ont pour partie réelle 1/2, sauf quelques zéros triviaux que l’on trouve en -2, -4, -6 et ainsi de suite. » On a beau avoir vérifié l’hypothèse de Riemann sur près de mille milliards de zéros, l’hypothèse n’est toujours pas démontrée mathématiquement.

 

4) Quatrième problème du millénaire : P vs NP Problem

«If it is easy to check that a solution to a problem is correct, is it also easy to solve the problem? This is the essence of the P vs NP question. If you give me a solution, I can easily check that it is correct. But I cannot so easily find a solution.»

 

Stephen Cook et Leonid Levin ont formulé le P (easy to find) versus NP (easy to check) problem en 1971.

https://www.claymath.org/sites/default/files/pvsnp.pdf

 

Autrement dit, s’il est facile de trouver la solution à un problème (easy to find), il sera facile de vérifier qu’il s’agit bien de la solution du problème (easy to chek). Pas de questionnement dans ce sens-là.

 

Mais inversement, s’il est facile de la vérifier lorsque l’on a la solution (easy to chek), peut-on alors démontrer qu’il sera également facile de trouver la solution à ce problème (easy to find) ? 

 

La résolution de ce problème améliorerait notamment les sciences informatiques.

 

5) Cinquième problème du millénaire : la conjecture de Hodge

William Vallance Douglas Hodge est un mathématicien écossais né en juin 1903 et décédé en juillet 1975. 

 

Selon Wikipédia, «la conjecture de Hodge est une des grandes conjecture de la géométrie algébrique. Elle établit un lien entre la topologie algébrique d’une variété algébrique complexe non singulière et sa géométrie décrite par des équations polynomiales qui définissent des sous-variétés. 

Cette conjecture peut s'énoncer ainsi : il est possible de calculer la cohomologie d'une variété algébrique projective complexe à partir de ses sous-variétés.»

https://www.claymath.org/sites/default/files/hodge.pdf

 
Qu’est-ce donc que la ‘cohomologie’ ? Toujours selon Wikipédia, «en mathématiques, la cohomologie de De Rham est un outil de topologie différentielle, c'est-à-dire adapté à l'étude des variétés différentielles. Il s'agit d'une théorie cohomologique fondée sur des propriétés algébriques des espaces de formes différentielles sur la variété.»

 

6) Sixième problème du millénaire : les équations de Navier-Stokes

Ces équations sont utilisées en mécanique des fluides, et pourraient permettre de comprendre le comportement des océans, de l’atmosphère, l’écoulement de l’air autour d’un avion ou d’une voiture

https://www.claymath.org/sites/default/files/navierstokes.pdf

 

Les équations de Navier-Stokes sont des équations aux dérivées partielles non linéaires très difficiles à résoudre, dont l’origine date de 1821 et 1822, qui doivent leur nom à leurs découvreurs du XIXè siècle:

 

- le mathématicien et ingénieur français Henri Navier (1785-1836)

- le mathématicien et physicien anglais George Gabriel Stokes (1819-1903)

- à noter que certains estiment que l’histoire a oublié le rôle du physicien Adhémar Barré de Saint-Venant (1797-1886) qui s’est intéressé à partir de 1871 à la mécanique des fluides.

 

En 2014, un mathématicien du Kazakhstan, Muchktarbai Ötelbajuly Ötelbajew, a assuré avoir résolu ces équations mais sa démonstration était uniquement rédigée en russe, donc difficilement vérifiable, et surtout la communauté scientifique internationale a réfuté sa démonstration, en indiquant y avoir découvert des fautes de raisonnement. 

 

Le problème est ainsi toujours considéré comme non résolu.

 

7) Septième problème du millénaire : La Conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer

« Pour toute courbe elliptique sur le corps des rationnels, l’ordre d’annulation en 1 de la fonction L associée est égale au rang de la courbe. »

https://www.claymath.org/sites/default/files/birchswin.pdf

 

Ou, encore exprimé différemment : « L'ordre du zéro de la fonction de la courbe elliptique au voisinage de = 1 est égal au rang de E. »

 

Ces courbes elliptiques ont la forme générale suivante : x² + y² = z²

 

Selon Wikipédia, « la courbe elliptique de plus grand rang exactement déterminé connue actuellement est la courbe y² + xy + y = x- x² + 31368015812338065133318565292206590792820353345x + 302038802698566087335643188429543498624522041683874493555186062568159847 de rang 19, trouvée par Noam Elkies en 2009 (mais on connait aussi des courbes dont on sait que le rang est supérieur à 28, sans pouvoir le déterminer exactement) ».

 

8) Autre problème irrésolu de la liste de Hilbert de 1900 - La conjecture de Goldbach

Parmi les problèmes irrésolus de la théorie des nombres, à l’instar de l’hypothèse de Riemann, il existe un autre problème appartenant à la liste énoncé en 1900 par David Hilbert, qui n’a toujours pas été démontré. Il s’agit de la Conjecture de Goldbach.

 

En juin 1742, le mathématicien prussien Christian Goldbach dans des lettres écrites au mathématicien suisse Léonard Euler, énonce la conjecture suivante : 

 

«Es scheinet wenigstens, daß eine jede Zahl, die größer ist als 2, ein aggregatum trium numerorum primorum sey»

 

Autrement dit, «Tout nombre pair peut être écrit comme la somme de deux nombres premiers.»

 

Cette conjecture se vérifie assez rapidement :

 

4 est la somme de 2+2

6 est la somme de 3+3

8 est la somme de 5+3 > moyenne 4 > écart de 1

10 est la somme de 7+3 > moyenne 5 > écart de 2

12 est la somme de 7+5 > moyenne 6 > écart de 1

14 est la somme de 11+3 > moyenne 7 > écart de 4

16 est la somme de 11+5 ou 13+3 > moyenne 8 > écart de 3 ou 5

18 est la somme de 11+7 ou 13+5 > moyenne 9 > écart de 2 ou 4

20 est la somme de 13+7 ou 17+3 > moyenne 10 > écart de 3 ou 7

22 est la somme de 17+5 ou 19+3 > moyenne 11 > écart de 6 ou 8

24 est la somme de 17+7 ou 19+5 > moyenne 12 > écart de 5 ou 7

26 est la somme de 19+7 ou 23+3 > moyenne 13

28 est la somme de 23+5 ou 17+11 > moyenne 14

30 est la somme de 23+7 ou 19+11 ou 17+13 > moyenne 15

32 est la somme de 29+3 ou 19+13 > moyenne 16

34 est la somme de 29+5 ou 23+11 > moyenne 17

 

 Et ainsi de suite. Que peut-on déduire de cette vérification rapide et partielle : 

 

1) Tout nombre premier supérieur à 3 est nécessairement impair, puisque tout nombre pair est forcément divisible par 2. La somme de deux nombres impairs donne forcément pour résultat un nombre pair.

 

2) Si on croit la conjecture de Goldbach, la moitié de tout nombre pair se trouve donc forcément au milieu des deux nombres premiers recherchés. La question est donc de savoir si, quelque soit le nombre considéré, pair ou impair, il se trouve forcément au milieu de deux nombres premiers. En somme, que quelque soit le nombre considéré, la somme des deux nombres premiers donnera pour résultat le double du nombre considéré. 

3) Il semble aussi que tout nombre premier permette de décrire successivement 3 nombres pairs successifs, en l’additionnant à un autre nombre premier. Mais cette conjoncture n’est vraie que parce que les premiers nombres premiers sont 3-5-7 et se suivent de 2 en 2.

 

—> On retrouve ainsi un énoncé proche du problème du millénaire P=NP. La somme de deux nombres premiers <> 2 donne forcément un nombre pair. Mais tous les nombres pairs sont-ils la somme de deux nombres premiers ?

 

Je suis ainsi bien loin de pouvoir résoudre la conjecture de GoldBach.

 

 

Saucratès


11/11/2022
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